MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde

tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü

ise , a º b (mod m) a º b + mk, k Î Z

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu

kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa,

denklik sınıfları

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m

biçiminde gösterilir.

Buna göre, Z/m = {0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1)} dir.

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Üx, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

x^{m – 1} º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış

biçimi

m = ak . b r . c p ve

x^T º 1 (mod m) dir.

m asal sayı ise ,

(m - 1)!+1 º 0 (mod n) dir.

Sayı Basamakları ve Tabanlar

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.

B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

a b c = 10³ . a + 10 . b + c

• ab = 10 . a + b
• abc = 100 . a + 10 . b + c
• aaa = 111 . a
• ab + ba = 11 . (a + b)
• ab – ba = 9 . (a – b)
• abc – cba = 99 . (a – c)

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)_T = a . T³ + b . T² + c . T + d dir.

Burada,

• T, 1 den büyük doğal sayıdır.
• a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
• Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
• (abc, de)T = a . T ² + b . T + c + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2} dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

-MANTIK-

Önerme = Doğru ya da yanlış , kesin hüküm bildiren ifadelerdir.
p,q,r gibi ifadelerle gösterilir

1 Doğru,
0 Yanlış anlamına gelir.

Değil = bir önermede belirtilen olayın tersidir
Örneğin 2+5=7 - p önermesi olursa
p’nin değili (p' ile gösterilir) 2+5#7 dir.

V = veya

L =ve

Þ = İse

Û = ancak ve ancak anlamına gelir.

Veya İşlemi (V)

Bileşenlerinden en az birisi doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p	q	p v q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Ve İşlemi (L)

Bileşenlerinin her ikisi de doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0).

Tablo

p	q	p L q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Veya ile Ve nin Özellikleri

p,q,r önermeleri için:

1) pvp=p
pLp=p

2) pvq=qvp değişme özellliği
pvq=qvp

3) (pvq)vr=pv(qvr)
(pLq)^r=pL (qLr) birleşme özelliği

4) pv(qLr)=(pvq) L (pvr)
pL (qcr)=(pLq)v(pLr) dağılma özelliği

De morgan kuralı

(pvq)'=p'Lq' aynı özellik diğer durumdada geçerlidir.

Kurallar
1)pv1=1
2)pL1=p
3)pv0=p
4)pL0=0
5)pvp'=1
6)pLp'=0
7)pv(pvq)=p


İse İşlemi (Þ)

Önermede
P doğru q yanlış ise yanlış diğer durumlarda doğrudur.

Tablo

p	q	pÞq
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Özellikler
1) p Þ p=1

2) p Þ 0=p'

3) p Þ p'=p

4) 0 Þ p=1

6) p Þ 1=1

5) 1 Þ p=p

7) p Þ q=p'vq

Ancak ve Ancak (Û)

p ile q aynı değerde iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

Tablo

p	q	pÛq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Özellikler

1)p Û q=q Û p değişme özelliği
2)p Û q=(pÞq) v (qÞp)

Kurallar
1.p Û p=1
2.p Û p'=0
3.p Û 1=p
4.p Û 0=p'


Totoloji
Bir önerme daima 1 çıkıyorsa totolojidir.

Çelişki
Bir önerme daima 0 çıkıyorsa çelişkidir.

ÜSLÜ SAYILAR

M m

Tanım: a € R ve m € z+ olmak üzere a.a.a........a =a ‘dir.a ifadesinde a’ ya taban m’ ye m tane üs denir.Bu ifade a üssü m yada a’ nın m kuvveti diye okunur.

Örnek:

2 4

5 . 5 = 5 x .x . x .x = x ...... vb. gibi

n

a 0 ise a 0 pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.

2n

a 0 ise a 0 negatif gerçek sayıların çift kuvvetleri ( +) dır.

2n+1

a 0 ise a 0 negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri ( -) dır.

ÜSLÜ İFADELERDE ÖZELLİKLER

1-) Tabanları aynı olan üslü 2 ifadenin çarpımında tabanlar değişmez.Üsler toplanır.

Örnek:

5 4 5+4 9

2 . 2 = 2 =2 olur.

2-) Üsleri aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında tabanlar çarpılır.Elde edilen çarpıma ortak üs , üs olarak yazılır.Üs değişmez.

Örnek:

3 3 3 3

(x –y) . (x+ y) = [ (x – y) (x + y ) ] = ( x-y ) olur.

3-) Üslü ifadenin kuvveti alınırken tabanları değişmez. Üsler çarpılır.

Örnekler:

4

5 5. 4 20

( 2 ) = 2 = 2

4 -) Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür , üsler değişmez

KÖKLÜ SAYILAR

A. TANIM
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.


B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ
1) n tek ise, daima reeldir.
2) n çift ve a < alt="" src="http://www.matematikaski.com/kok_kesir03.gif" onload="NcodeImageResizer.createOn(this);" border="0" originalheight="28" originalwidth="30"> reel sayı belirtmez.
3) a ³ 0 ise, daima reeldir.
4) a ³ 0 ise,
5) n tek ise,
6) n çift ise,
7)
8) n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

9) n tek ise,

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere,

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise,

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.


2. Çarpma
n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,


3. Bölme
Uygun koşullarda,


4. Paydayı Kökten Kurtarma
Uygun koşullarda,







D. İÇ İÇE KÖKLER

V) 0 <>


E. SONSUZ KÖKLER

Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise, v. nin cevabı bu sayıların büyüğü, vı. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür.

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.